https://math.stanford.edu/~conrad/papers/notes.pdf
前回定義した $\underline{D}$ を調べる上で、次の「周期環」が重要になります。
定義
$\mathbb{C}_K$ 代数
\[B_{\rm HT}=\bigoplus_q\mathbb{C}_K(q)\]
を $K$ の Hodge-Tate 環という*1。積構造は同型 $\mathbb{C}_K(q)\otimes_{\mathbb{C}_K}\mathbb{C}_K(q')\cong\mathbb{C}_K(q+q')$ によって入れる。
\[B_{\rm HT}=\bigoplus_q\mathbb{C}_K(q)\]
を $K$ の Hodge-Tate 環という*1。積構造は同型 $\mathbb{C}_K(q)\otimes_{\mathbb{C}_K}\mathbb{C}_K(q')\cong\mathbb{C}_K(q+q')$ によって入れる。
$B_{\rm HT}$ は次数付き $\mathbb{C}_K$ 代数となります*2。$\mathbb{Z}_p(1)$ の基底 $t$ をとると、$B_{\rm HT}$ はLaurent多項式環 $\mathbb{C}_K[t,t^{-1}]$ に自明な次数付けと $g(t^i)=\chi(g)^it^i$ で定まる $G_K$ 作用を入れたものと同一視されます。
Tate-Senの定理によって $B_{\rm HT}^{G_K}=K$ が成り立ちます。また、$W\in{\rm Rep}_{\mathbb{C}_K}(G_K)$ に対し、${\rm Gr}_K$ で
\[\underline{D}(W)=\bigoplus_q(\mathbb{C}_K(q)\otimes_{\mathbb{C}_K} W)^{G_K}=(B_{\rm HT}\otimes_{\mathbb{C}_K}W)^{G_K}\]
が成り立ちます*3。
逆に $D\in {\rm Gr}_{K,f}$ から $\mathbb{C}_K$ 表現をつくることもできます：
$B_{\rm HT}\otimes_K D$ には次数付き $\mathbb{C}_K$ ベクトル空間の構造が
\[{\rm gr}^n(B_{\rm HT}\otimes_K D)=\bigoplus_q{\rm gr}^q(B_{\rm HT})\otimes_K D_{n-q}=\bigoplus_q\mathbb{C}_K(q)\otimes_KD_{n-q}\]
によって入ります。さらに、$B_{\rm HT}\otimes_K D$ には $B_{\rm HT}$ から誘導された $G_K$ 作用が入り、その作用は次数付けとcompatibleになっています。したがって、
\[\underline{V}(D):={\rm gr}^0(B_{\rm HT}\otimes_K D)=\bigoplus_q \mathbb{C}_K(-q)\otimes_K D_q\]
は $\mathbb{C}_K$ 表現になります*4。$\underline{V}(D)$ は $\mathbb{C}_K(-q)$ の形の表現の直和なので Hodge-Tate です。また、$\underline{V}:{\rm Gr}_{K,f}\to {\rm Rep}_{\mathbb{C}_K}(G_K)$ は共変完全関手となります。
$W\in {\rm Rep}_{\mathbb{C}_K}(G_K)$ に対し、$B_{\rm HT}$ の積構造から「比較写像」
\[\gamma_W:B_{\rm HT}\otimes_K\underline{D}(W)\hookrightarrow B_{\rm HT}\otimes_K (B_{\rm HT}\otimes_{\mathbb{C}_K}W)\to B_{\rm HT}\otimes_{\mathbb{C}_K} W\]
が得られます。これは $B_{\rm HT}$ 線形で $G_K$ 作用*5および次数付け*6とcompatibleになっています。これを使うとSerre-Tateの補題*7が次のように言い換えられます。
$W\in {\rm Rep}_{\mathbb{C}_K}(G_K)$ に対し、$\gamma_W$ は単射である。$\gamma_W$ が同型であることと $W$ が Hodge-Tate であることは同値であり、そのとき ${\rm Rep}_{\mathbb{C}_K}(G_K)$ において
\[\underline{V}(\underline{D}(W) )={\rm gr}^0(B_{\rm HT}\otimes_K \underline{D}(W))\overset{\gamma_W}{\cong}{\rm gr}^0(B_{\rm HT})\otimes_{\mathbb{C}_K} W=W\]
が成り立つ。
\[\underline{V}(\underline{D}(W) )={\rm gr}^0(B_{\rm HT}\otimes_K \underline{D}(W))\overset{\gamma_W}{\cong}{\rm gr}^0(B_{\rm HT})\otimes_{\mathbb{C}_K} W=W\]
が成り立つ。
証明 $\gamma_W$ を ${\rm gr}^n$ に制限したものは $\xi_W$ を $\mathbb{Q}_p(n)$ だけひねったものだから、Serre-Tate の補題に帰着される。 （証明終わり）
この補題より、比較同型
\[\gamma_{\underline{V}(D)}:B_{\rm HT}\otimes_K \underline{D}(\underline{V}(D))\cong B_{\rm HT}\otimes_{\mathbb{C}_K}\underline{V}(D)\]
が得られます。両辺の $G_K$ 不変部分をとると ${\rm Gr}_K$ での同型
\[\underline{D}(\underline{V}(D))\cong\bigoplus_r (\underline{V}(D)(r))^{G_K}\]
が得られます。ここで、$\underline{V}(D)(r)\cong \bigoplus_q \mathbb{C}_K(r-q)\otimes_K D_q$ であるため、Tate-Sen の定理から $(\underline{V}(D)(r))^{G_K}=D_r$ となります。したがって、
\[\underline{D}(\underline{V}(D))\cong\bigoplus_r D_r=D\]
となります。
以上により次の定理の前半が示せました。
定理
${\rm Rep}_{\mathbb{C}_K}$ の Hodge-Tate 表現のなす圏と、${\rm Gr}_{K,f}$ の間の関手 $\underline{D},\underline{V}$ は互いに quasi-inverse である。
$W,W'\in {\rm Rep}_{\mathbb{C}_K}(G_K)$ に対し、 $B_{\rm HT}$ の積で定まる $G_K$ 同変写像
\[(B_{\rm HT}\otimes_{\mathbb{C}_K} W)\otimes_{\mathbb{C}_K}(B_{\rm HT}\otimes_{\mathbb{C}_K} W')\to B_{\rm HT}\otimes_{\mathbb{C}_K}(W\otimes_{\mathbb{C}_K} W')\]
から誘導された ${\rm Gr}_K$ の写像
\[\underline{D}(W)\otimes\underline{D}(W')\to \underline{D}(W\otimes W')\]
は、$W$ と $W'$ が Hodge-Tate なら同型である。同様に、 $W$ が Hodge-Tate なら ${\rm Gr}_K$ の写像
\[\underline{D}(W)\otimes_K\underline{D}(W^\vee)\to \underline{D}(W\otimes W^\vee)\to \underline{D}(\mathbb{C}_K)=K\langle 0\rangle\]
は（各 $q$ に対する $W\{q\}$ と $W^\vee\{-q\}$ の間の）perfect pairing である。したがって、誘導される ${\rm Gr}_{K,f}$ の写像 $\underline{D}(W^\vee)\to \underline{D}(W)^\vee$ は同型である。
つまり、$\underline{D}$ は Hodge-Tate 表現上のテンソル積および双対とcompatibleである。同様のcompatibilityは $\underline{V}$ に対しても成り立つ。
$W,W'\in {\rm Rep}_{\mathbb{C}_K}(G_K)$ に対し、 $B_{\rm HT}$ の積で定まる $G_K$ 同変写像
\[(B_{\rm HT}\otimes_{\mathbb{C}_K} W)\otimes_{\mathbb{C}_K}(B_{\rm HT}\otimes_{\mathbb{C}_K} W')\to B_{\rm HT}\otimes_{\mathbb{C}_K}(W\otimes_{\mathbb{C}_K} W')\]
から誘導された ${\rm Gr}_K$ の写像
\[\underline{D}(W)\otimes\underline{D}(W')\to \underline{D}(W\otimes W')\]
は、$W$ と $W'$ が Hodge-Tate なら同型である。同様に、 $W$ が Hodge-Tate なら ${\rm Gr}_K$ の写像
\[\underline{D}(W)\otimes_K\underline{D}(W^\vee)\to \underline{D}(W\otimes W^\vee)\to \underline{D}(\mathbb{C}_K)=K\langle 0\rangle\]
は（各 $q$ に対する $W\{q\}$ と $W^\vee\{-q\}$ の間の）perfect pairing である。したがって、誘導される ${\rm Gr}_{K,f}$ の写像 $\underline{D}(W^\vee)\to \underline{D}(W)^\vee$ は同型である。
つまり、$\underline{D}$ は Hodge-Tate 表現上のテンソル積および双対とcompatibleである。同様のcompatibilityは $\underline{V}$ に対しても成り立つ。
証明 $\underline{D}$ のテンソル積や双対に対する主張は直和とcompatibleであり、$W,W'$ は Hodge-Tate だから $W=\mathbb{C}_K(q),W'=\mathbb{C}_K(q')$ として良い。あとは実際に計算すれば示せる。同様に $\underline{V}$ に対しても $D=K\langle r\rangle,D'=K\langle r'\rangle$ として示せば良い。 （証明終わり）
定義
${\rm Rep}_{\rm HT}(G_K)$ を ${\rm Rep}_{\mathbb{Q}_p}(G_K)$ のHodge-Tate表現*8がなす充満部分圏とし、関手 $D_{\rm HT}:{\rm Rep}_{\mathbb{Q}_p}\to {\rm Gr}_{K,f}$ を
\[D_{\rm HT}(V)=\underline{D}_K(\mathbb{C}_K\otimes_{\mathbb{Q}_p} V)=(B_{\rm HT}\otimes_{\mathbb{Q}_p} V)^{G_K}\]
で定める。
\[D_{\rm HT}(V)=\underline{D}_K(\mathbb{C}_K\otimes_{\mathbb{Q}_p} V)=(B_{\rm HT}\otimes_{\mathbb{Q}_p} V)^{G_K}\]
で定める。
これまでの結果より、${\rm Rep}_{\rm HT}(G_K)$ はテンソル積、双対、部分表現、商に関して閉じていること*9、また $D_{\rm HT}$ の構成と $K$ の有限次拡大および $\widehat{K^{\rm un}}$ への係数拡大は compatible であることが分かります。また、比較写像
\[\gamma_V:B_{\rm HT}\otimes_K D_{\rm HT}(V)\to B_{\rm HT}\otimes_{\mathbb{Q}_p} V\]
は $V$ がHodge-Tate のとき、またその時に限り同型になります。したがって $D_{\rm HT}:{\rm Rep}_{\rm HT}(G_K)\to {\rm Gr}_{K,f}$ は忠実関手です。
以上を用いると、Faltings の定理は以下のように言い換えられます。
$X$ をスムースで固有な $K$ スキームとすると、$n\geq 0$ に対して $V:=H^n_{\rm et}(X_\overline{K},\mathbb{Q}_p)$ は Hodge-Tate で、
\[D_{\rm HT}(V)\cong H^n_{\rm Hodge}(X/K):=\bigoplus_q H^{n-q}(X,\Omega_{X/K}^q)\]
が成り立ちます。したがって、比較写像 $\gamma_V$ は ${\rm Gr}_K$ での $B_{\rm HT}$ 線形 $G_K$ 同変な同型
\[B_{\rm HT}\otimes_K H^n_{\rm Hodge}(X/K)\cong B_{\rm HT}\otimes_{\mathbb{Q}_p}H^n_{\rm et}(X_\overline{K},\mathbb{Q}_p)\]
になります。
\[H^n_{\rm dR}(M)\cong \mathbb{R}\otimes_{\mathbb{Q}}H_n(M,\mathbb{Q})^\vee\]
に似ています。コホモロジーが有限次元の時、これは $H^n_{\rm dR}(M)$ の $\mathbb{R}$ 基底 $\{\omega_i\}$ および $H_n(M,\mathbb{Q})$ の $\mathbb{Q}$ 基底 $\{ \sigma _j\}$ に対する行列 $(\int_{\sigma_j}\omega_i)$ で表されます。$\int_\sigma \omega$ は周期とよばれており、また２つのコホモロジーの間の上の同型を得るためには $\mathbb{R}$ をテンソルする必要があります。これらの理由から、Faltingsの比較同型における係数環 $B_{\rm HT}$ は周期環と呼ばれます。
${\rm Rep}_{\mathbb{C}_K}(G_K)$ の Hodge-Tate 表現上の関手 $\underline{D}$ は忠実充満関手ですが、${\rm Rep}_{\rm HT}(G_K)$ の Hodge-Tate 表現上の関手 $D_{\rm HT}$ は忠実充満ではありません。例えば、有限位数の指標 $(1\ne )\eta:G_K\to \mathbb{Z}_p$ に対し、Tate-Sen の定理から $D_{\rm HT}(\mathbb{Q}_p(\eta))\cong K\langle 0\rangle =D_{\rm HT}(\mathbb{Q}_p)$ となりますが、$\mathbb{Q}_p(\eta)$ と $\mathbb{Q}_p$ の間に $0$ 以外の写像はありません。このように、${\rm Rep}_{\rm HT}(G_K)\to {\rm Rep}_{\mathbb{C}_K}; V\mapsto \mathbb{C}_K\otimes_{\mathbb{Q}_p}V$ という操作はかなり情報を失ってしまいます。そこで、$D_{\rm HT}$ を改良して良い $p$ 進表現の圏から半線形な代数の圏への忠実充満関手を作りたい、ということになります。
次回に続く
*1:$B$ はBarsottiの頭文字。
*2:積は次数に関して加法的で、$G_K$ 作用は次数および環構造を保つ。また、$G_K$ 作用は $\mathbb{C}_K$ 上半線形。
*3:次数付けは $B_{\rm HT}$ から誘導される。
*4:$D\in {\rm Gr}_{K,f}$ より、ほとんどすべての $q$ に対して $D_q=0$ であり $D_q$ はすべて $K$ 上有限次元であることに注意。
*5:$B_{\rm HT}$ と $W$ から誘導される。
*6:$B_{\rm HT}$ と $\underline{D}(W)$ から誘導される。
*7:https://cat76599648.hatenablog.com/entry/2024/03/19/042633
*8:$\mathbb{C}_K\otimes_{\mathbb{Q}_p} V$ が ${\rm Rep}_{\mathbb{C}_K}(G_K)$ の Hodge-Tate 表現
*9:拡大に関しては閉じていない。
