https://math.stanford.edu/~conrad/papers/notes.pdf
2.1 $\mathbb{C}_K$ の基本性質
以降、$K$ は $p$ 進体とし、その代数閉包を一つ固定して$\overline{K}$ と書きます。また、${\rm Gal}(\overline{K}/K)$ を $G_K$ と書き、$K$ 上の絶対値 $|\,\cdot\,|$ を $\overline{K}$ に延長したもの*1による完備化 $\widehat{\overline{K}}$ を $\mathbb{C}_K$ と書きます。${\rm ord}_K:=\log_p |\cdot|, {\rm ord}_K(0):=\infty$ とし、これと $|\,\cdot\,|$ を $\mathbb{C}_K$ に延長したものも $|\,\cdot\,|,{\rm ord}_K$ と書きます。${\rm ord}_K(p)=1$ となるように正規化することもよくあります。
歴史的に一番はじめの「良い」クラスの $G_K$ の $p$ 進表現はHodge-Tate表現と呼ばれるもので、これからしばらくそれを見ていきたいと思います。
まず一番基本的なものとして、1.1の $p$ 進円分指標があります。それについて少し説明します。${\rm GL}_1$ の $K$ 上の $p$ 進Tate加群は $\varprojlim \mu_{p^n}(\overline{K})$ で、階数$1$の自由 $\mathbb{Z}_p$ 加群です。これを $\mathbb{Z}_p(1)$ と書きます。これの基底を選ぶことは、原始 $p^n$ 乗根のcomaptible system $(\zeta_{p^n})_{n\geq 1}$ をとることに相当します（もちろんcanonicalな基底は存在しません）。$\mathbb{Z}_p(1)$ には円分指標 $\chi$ によって $G_K$ が作用します。そこで $\mathbb{Z}_p(1)$ の基底を一つ固定して、$\mathbb{Z}_p(1)$ を $\chi$ による $G_K$ 作用が入った $\mathbb{Z}_p$ とみなすことがよくあります。
$r\in \mathbb{Z}_{\geq 0}$ に対して、$\mathbb{Z}_p(r)=\mathbb{Z}_p(1)^{\otimes r},\ \mathbb{Z}_p(-r)=\mathbb{Z}_p(r)^\vee$ と定め*2、また$\mathbb{Z}_p[G_K]$ 加群 $ M $ に対して $M(r):=M\otimes_{\mathbb{Z}_p}\mathbb{Z}_p(r)$ と定めます。$\mathbb{Z}_p(1)$ の基底を一つ固定すると、$M(r)$ は $ M $ に $G_K$ 作用
\[g.m=\chi(g)^rg(m)\quad (g\in G_K,m\in M)\]
が入ったものと同一視されます。
Hodge-Tate表現の理論では、$G_K$ の $p$ 進表現 $V$ に対して$\mathbb{C}_K\otimes_{\mathbb{Q}_p}V$ への $G_K$ 作用*3を考えることがあります。そこで、まず$\mathbb{C}_K$ の基本的な性質を2つ見ていきます。
証明 （$X$を適当に定数倍することで）
\[P=X^N+a_1X^{N-1}+\cdots+a_N\in \mathscr{O}_{\mathbb{C}_K}[X]\quad (N>0)\]
の根の存在を示せば良い。$\mathbb{C}_K=\widehat{\overline{K}}$ だから、$P$ に収束するモニック多項式 $P_n\in \mathscr{O}_{\overline{K}}[X]$ がとれる：$P-P_n\in p^{Nn}\mathscr{O}_{\mathbb{C}_K}[X]$。
$P_n$ の根 $\alpha_n$ は $\overline{K}$ の元だが、$P_n$ はモニックなので特に$ \alpha_n\in \mathscr{O}_{\overline{K}}$ である。
$P_{n+1}-P_n\in p^{Nn}\mathscr{O}_{\mathbb{C}_K}$ だから、$P_{n+1}(\alpha_n)\in p^{Nn}\mathscr{O}_{\mathbb{C}_K}$ となる。したがって$P_{n+1}$ の根を $\{\rho_i\}_{i=1}^N$ とおくと、
\[p^{Nn}\mid\prod_i(\alpha_n-\rho_i)\]
となり、ある $i$ について $p^n\mid \alpha_n-\rho_i$ となる。この $\rho_i$ を $\alpha_{n+1}$ とおく。これを繰り返すと $\mathscr{O}_\overline{K}$ のCauchy列 $\{\alpha_n\}$ で $\forall n,\ P_n(\alpha_n)=0$ を満たすものがとれる。$\alpha\in \mathscr{O}_{\mathbb{C}_K}$ をその極限とすると、$P_n(\alpha_n)\rightarrow P(\alpha)$ より $P(\alpha)=0$ となる。
（証明終わり）
$G_K={\rm Gal}(\overline{K}/K)$ の $\overline{K}$ への作用はisometry*4だから、$\mathbb{C}_K=\widehat{\overline{K}}$ への作用に一意に延長され、$G_K$ は $K$ 上の $\mathbb{C}_K$ のisometricな自己同型の群と同一視されます。
証明 $x\in\mathbb{C}_K^H$ とする。$\overline{K}$ の点列$\{x_n\}$ で $v(x-x_n)\geq n$ なるものをとる。$g\in H$ に対し $g$ はisometryだから
\begin{align}v(g(x_n)-x_n)&=v(g(x_n-x)-(x_n-x))\cr&\geq \min \{v(g(x_n-x)),v(x_n-x)\}\cr&=v(x_n-x)\geq n\end{align}
となる。ここで、
\[v(x_n-y_n)\geq \min_{g\in H} \{v(g(x_n)-x_n)\}-\frac{p}{(p-1)^2}\geq n-\frac{p}{(p-1)^2}\]
なる $y_n\in \overline{K}^H$ が存在する*5。$x_n\rightarrow x$ だから $y_n\rightarrow x$ である。よって $x\in \widehat{\overline{K}^H}$である。（証明終わり）
次回に続く
