https://math.stanford.edu/~conrad/papers/notes.pdf
2.2 Tate-SenとFaltingsの定理
$X$ を $p$ 進体 $K$ 上のスムースで固有なスキームとします。$G_K$ の $p$ 進表現 $H^n_{{\rm et}}(X_\overline{K},\mathbb{Q}_p)$ は調べるのが難しいですが、
\[V\leadsto \mathbb{C}_K\otimes_{\mathbb{Q}_p} V\]
という操作をかませると簡単になることをTateは発見しました。
そこで次の定義をします。
\[\mathbb{C}_K\otimes_{\mathbb{Q}_p}H^n_{{\rm et}}(X_\overline{K},\mathbb{Q}_p)\cong \bigoplus_q (\mathbb{C}_K(-q)\otimes_K H^{n-q}(X,\Omega_{X/K}^q)).\]
特に、$h^{p,q}=\dim_K H^p(X,\Omega_{X/K}^q)$ とおくと、non-canonicalに
\[\mathbb{C}_K\otimes_{\mathbb{Q}_p}H^n_{{\rm et}}(X_\overline{K},\mathbb{Q}_p)\cong \bigoplus_q \mathbb{C}_K(-q)^{h^{n-q,q}}\]
が成り立つ。
これによって、$\mathbb{C}_K\otimes_{\mathbb{Q}_p}H^n_{{\rm et}}(X_\overline{K},\mathbb{Q}_p)$ は $\mathbb{C}_K(-q)$ という非常に簡単な $\mathbb{C}_K$ 表現の直和になっていることが分かります。また、後でみるように $K$ ベクトル空間 $H^{n-q}(X,\Omega_{X/K}^q)$ を $\mathbb{C}_K\otimes_{\mathbb{Q}_p}H^n_{{\rm et}}(X_\overline{K},\mathbb{Q}_p)$ から復元することもできます。ただし、$p$ 進表現 $H^n_{{\rm et}}(X_\overline{K},\mathbb{Q}_p)$ そのものを復元することはできないことに注意が必要です。一般に、$\mathbb{C}_K\otimes_{\mathbb{Q}_p}V$ は $V$ の情報をかなり失います。例えば、split multiplicative reduction をもつ $K$ 上の楕円曲線 $E$ に対し、${\rm Rep}_{\overline{K}}(G_K)$ においてnon-split な完全列
\[0\to \overline{K}(1)\to\overline{K}\otimes_{\mathbb{Q}_p}V_p(E)\to\overline{K}\to 0\]
があります。これに $\mathbb{C}_K$ をテンソルすると ${\rm Rep}_{\mathbb{C}_K}(G_K)$ において（一意に）splitする完全列が得られます。これはTate-Senの定理の2つ目の部分ですが、まずその定理を述べるために次の定義をします。
$ \eta :G_K\to \mathbb{Z}_p$ を連続指標とします。$H^1_{{\rm cont}}(G_K,\mathbb{C}_K(\eta))$ *3は ${\rm Rep}_{\mathbb{C}_K}(G_K)$ での拡大
\[0\to\mathbb{C}_K(\eta)\to W\to \mathbb{C}_K\to 0\quad (1)\]
の同型類と同一視されます：$\mathbb{C}_K(\eta),\mathbb{C}_K$ からきた $W$ の基底を一つ固定して$G_K$ 表現 $W$ を行列
\[\begin{pmatrix}\eta&*\\0&1\end{pmatrix}\]
で表すと、右上の成分が $G_K$ 上の $\mathbb{C}_K(\eta)$ 値連続1-cocycleになることが分かります。また、基底の取り方を変えると1-cocyleは1-coboundaryの分だけ変わります。逆に、1-cocyleからこのような拡大 $W$ を（同型を除いて）作ることもできます。
\begin{align}\mathbb{C}_K(r)^{G_K}=\begin{cases} K\quad (r=0)\cr \ 0\quad (r\ne0)\end{cases}.\end{align}
また、$H^1_{\rm cont}(G_K,\mathbb{C}_K(r))$ は $r\ne0$ なら $0$ で、$r=0$ なら $K$ 上 $1$ 次元となる。
より一般に、$\eta:G_K\to \mathscr{O}_K^\times$ を $\eta(G_K)$ が高々 $1$ 次元の可換 $p$ 進Lie群*4であるような連続指標としたとき、$\eta(I_K)$ が無限群のときは $H^i_{{\rm cont}}(G_K,\mathbb{C}_K(\eta))=0\quad (i=0,1)$ で、有限群のときこれらのコホモロジー群は $K$ 上 $1$ 次元となる。
これによって、完全列 $(1)$ は（一意的に）splitすることが分かります。
