https://math.stanford.edu/~conrad/papers/notes.pdf
2.4 Hodge-Tate表現のフォーマリズム
${\rm Rep}_{\mathbb{C}_K}(G_K)$ において
\[\left(\bigoplus_q\mathbb{C}_K(-q)^{h_q}\right)\otimes_{\mathbb{C}_K} \left(\bigoplus_{q'}\mathbb{C}_K(-q')^{h'_{q'}}\right)\cong \bigoplus_r\mathbb{C}_K(-r)^{\sum_ih_ih'_{r-i}}\]
なので、$W,W'$ が Hodge-Tate なら $W\otimes W'$ も Hodge-Tate になります。同様に、$W\oplus W'$ も Hodge-Tate になります。
Hodge-Tate 表現とテンソル積などの演算がどのように関係しているかを表すために、まず次の定義をします。
定義
体 $F$ 上の（$\mathbb{Z}-$）次数付きベクトル空間とは、部分ベクトル空間への分解 $D=\bigoplus_{q\in\mathbb{Z}}D_q$ をもつ $F$ ベクトル空間 $D$ のことをいい、$D_q$ を $D$ の次数 $q$ 部分という。次数付き $F$ ベクトル空間の間の射とは、$F$ 線形写像 $T:D'\to D$ で任意の $q$ に対し $T(D_q')\subset D_q$ なるもののことをいう。これらがなす圏を ${\rm Gr}_F$ と書き、そのうち有限次元のものがなす充満部分圏を ${\rm Gr}_{F,f}$ と書く。
${\rm Gr}_F$ はAbel圏になります。
$r\in\mathbb{Z}$ に対して $F\langle r\rangle$ で次数 $r$ 部分が $F$ で他は$0$である次数付き $F$ ベクトル空間を表します。
また、$D,D'\in{\rm Gr}_F$ に対して、$D\otimes D'$ を $q$ 次部分が $\oplus_{i+j=q}(D_i\otimes_F D_j')$ である $F$ ベクトル空間 $D\otimes_F D'$ とし、$D\in {\rm Gr}_{F,f}$ に対して $D^\vee$ を$q$ 次部分が $D_{-q}^\vee$ である $F$ ベクトル空間 $D^\vee$ とします。
このとき、$F\langle r\rangle\otimes F\langle r'\rangle =F\langle r+r'\rangle,F\langle r\rangle ^\vee=F\langle -r\rangle$ が成り立ち、またevaluation map $D\otimes D^\vee\to F\langle 0\rangle$ や同型 $D\cong (D^\vee)^\vee$ は ${\rm Gr}_{F,f}$ の射になります。
次に、重要な関手 $\underline{D}$ を定義します。
定義
共変関手 $\underline{D}=\underline{D}_K:{\rm Rep}_{\mathbb{C}_K}(G_K)\to {\rm Gr}_K$ を
\[\underline{D}(W)=\bigoplus_q W\{q\}=\bigoplus_q (\mathbb{C}_K(q)\otimes_{\mathbb{C}_K} W)^{G_K}\]
で定める。
\[\underline{D}(W)=\bigoplus_q W\{q\}=\bigoplus_q (\mathbb{C}_K(q)\otimes_{\mathbb{C}_K} W)^{G_K}\]
で定める。
この関手は明らかに左完全です。
Serre-Tate の補題により $\dim_K\underline{D}(W)\leq \dim_{\mathbb{C}_K} W$ であり、特に $\underline{D}$ は ${\rm Gr}_{K,f}$ に値をとることが分かります。例えば、Tate-Sen の定理により $\underline{D}(\mathbb{C}_K(r))=K\langle -r\rangle$ となります。
$\underline{D}$ は完全列に対して次のように振舞います。
命題
$0\to W'\to W\to W''\to 0$ が ${\rm Rep}_{\mathbb{C}_K}(G_K)$ での完全列で $W$ が Hodge-Tate のとき、$W',W''$ も Hodge-Tate で
\[0\to \underline{D}(W')\to\underline{D}(W)\to \underline{D}(W'')\to 0\]
は ${\rm Gr}_{K,f}$ での完全列である（したがって Hodge-Tate weight は Hodge-Tate 表現の完全列に関して加法的になる）。
\[0\to \underline{D}(W')\to\underline{D}(W)\to \underline{D}(W'')\to 0\]
は ${\rm Gr}_{K,f}$ での完全列である（したがって Hodge-Tate weight は Hodge-Tate 表現の完全列に関して加法的になる）。
これは Hodge-Tate 表現 $W$ に関して $\dim_K\underline{D}(W)\leq \dim_{\mathbb{C}_K}(W)$ であることを使えば示せます。
上の命題において、逆に $W',W''$ がHodge-Tate であるとしても、$W$ が Hodge-Tate であるとは限りません。
また、$\underline{D}$ に関して次も成り立ちます。
定理
$K'=K$ の有限次拡大または $K'=\widehat{K^{\rm un}}$ とする。$W\in {\rm Rep}_{\mathbb{C}_K}(G_K)$ に対し、${\rm Gr}_{K',f}$ の自然な射 $K'\otimes_K \underline{D}_K(W)\to \underline{D}_{K'}(W)$ は同型である。
したがって、$W\in {\rm Rep}_{\mathbb{C}_K}(G_K)$ が Hodge-Tate であることと、それを ${\rm Rep}_{\mathbb{C}_K}(G_{K'})$ の対象だと思ったときに Hodge-Tate であることは同値である。
したがって、$W\in {\rm Rep}_{\mathbb{C}_K}(G_K)$ が Hodge-Tate であることと、それを ${\rm Rep}_{\mathbb{C}_K}(G_{K'})$ の対象だと思ったときに Hodge-Tate であることは同値である。
この定理は、有限次ガロア拡大 $F'/F$ と有限次元 $F'$ ベクトル空間 $D'$ で${\rm Gal}(F'/F)$ の半線形作用が入っているものに対して
\[F'\otimes_F (D'^{{\rm Gal}(F'/F)})\to D'\]
が同型であるという事実*1に帰着して証明されます。
次回に続く
*1:Silverman, The Arithmetic of Elliptic Curves, II, 5.8.1
